Σπούδασε στη Σχολή Καλών Τεχνών της Αθήνας με δασκάλους τους Κωνσταντίνο Παρθένη, Δημήτριο Μπισκίνη, Θωμά Θωμόπουλο και Γιάννη Κεφαλληνό. Μετά την αποφοίτησή του το 1938, δούλεψε κοντά στο ζωγράφο Ευάγγελο Ιωαννίδη και χάρη στη μαθητεία του κοντά στο Φώτη Κόντογλου και τον καθηγητή Αλέξανδρο Ξυγγόπουλο ήλθε σε επαφή με την παράδοση και την ουσία της βυζαντινής και μεταβυζαντινής τέχνης. Μαζί με το Γιάννη Τσαρούχη δούλεψε ως βοηθός στη μνημειακή τοιχογραφία που ο Κόντογλου ιστόρησε στο σπίτι του και σήμερα βρίσκεται στην Εθνική Πινακοθήκη. Ταξίδεψε σε πολλές ευρωπαϊκές χώρες και πραγματοποίησε ελεύθερες καλλιτεχνικές σπουδές στο Μόναχο και σε πόλεις της Ιταλίας. Κατά την επιστροφή του στην Ελλάδα υπηρέτησε επί πολλά χρόνια στην εκπαίδευση, ενώ το 1967 διορίστηκε καθηγητής στην έδρα της ζωγραφικής στην Αρχιτεκτονική Σχολή του Μετσόβειου Πολυτεχνείου, όπου από τα τέλη της δεκαετίας του 1930 εργαζόταν ως επιμελητής.

Ήδη προπολεμικά παρουσίασε ζωγραφικά του έργα σε ατομική έκθεση που οργανώθηκε στην οικία του Ν. Καλαμάρη (1939), προκαλώντας τις έντονες αντιδράσεις της κριτικής, και ακολούθησε σειρά ατομικών παρουσιάσεων και συμμετοχών σε ομαδικές και διεθνείς εκθέσεις. Ένα χρόνο νωρίτερα, το 1938, είχε κυκλοφορήσει από τις εκδόσεις Κύκλος η πρώτη του ποιητική συλλογή με τίτλο "Μην ομιλείτε εις τον οδηγόν", ενώ το 1939 εκδόθηκαν τα "Κλειδοκύμβαλα της σιωπής". Το 1954 εκπροσώπησε κατ' αποκλειστικότητα την Ελλάδα στην Μπιενάλε της Βενετίας με εκατό έργα, και ένα χρόνο αργότερα πήρε μέρος στην Μπιενάλε του Σάο Πάολο. Μετείχε επίσης σε όλες τις εκθέσεις της ομάδας"Αρμός", της οποίας ήταν ιδρυτικό μέλος (1964). Το 1958 τιμήθηκε με το Α΄ Βραβείο Ποίησης του Υπουργείου Παιδείας και το 1966 του απονεμήθηκε ο Χρυσός Σταυρός του Γεώργιου Α΄ για το ζωγραφικό του έργο. Αναδρομικές εκθέσεις του έργου του οργανώθηκαν το 1977 στην Εταιρεία Σπουδών Μωραΐτη και το 1983 στην Εθνική Πινακοθήκη. Ασχολήθηκε επίσης με τη σκηνογραφία και την εικονογράφηση βιβλίων.
Εισηγητής και κυρίαρχη μορφή μιας ιδιότυπης, προσαρμοσμένης στα ελληνικά δεδομένα, εκδοχής του υπερρεαλισμού, εκπρόσωπος της ονομαζόμενης γενιάς του ΄30, συνδυάζει στοιχεία και εικόνες από ένα ευρύ φάσμα της ελληνικής παράδοσης, από τη μυθολογία και την αρχαιότητα έως το Βυζάντιο, τα νεότερα χρόνια και τη σύγχρονη εποχή, με τρόπο αντισυμβατικό, άλλοτε πικρά ειρωνικό κι άλλοτε χιουμοριστικό. Έκδηλη στους πίνακές του είναι η ερωτική διάθεση, που προσωποποιείται στις γυμνές αντρικές και γυναικείες μορφές που πρωταγωνιστούν. Ο ίδιος τόνιζε την καταλυτική επιρροή που άσκησε στο έργο του η τέχνη των δασκάλων του Παρθένη και Κόντογλου καθώς και η γνωριμία του με τον ποιητή Ανδρέα Εμπειρίκο και τον κατεξοχήν εκπρόσωπο της μεταφυσικής ζωγραφικής Giorgio de Chirico. Χάρη τόσο στο ζωγραφικό όσο και στο ποιητικό του έργο, ο Εγγονόπουλος, άνθρωπος με πλατιά κουλτούρα, συγκαταλέγεται στις μεγάλες πνευματικές μορφές της μεταπολεμικής Ελλάδας.

• 

  Άνθιμος ο Τραλλεύς και Ισίδωρος ο Μιλήσιος